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四面体(2/2)

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截取的“一片”棱锥“切片”,它的体积大约等于:所以棱锥的体积等于积分:对于正棱锥,假设它的底面是正n边形,边长为a,高是h,那么底面积是:所以它的体积是:

折叠表面积

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的,展开图的面积,就是棱锥的侧面积,其中是第i个侧面的面积。棱锥的表面积等于棱锥的侧面积加上底面积s。假设顶点的投影q点到第i个侧面对应的底边的距离是di,底边的长度是ai,那么棱锥的侧面积:对于正n棱锥,顶点到底面的投影是底面正n边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等:因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高:棱锥的侧面积[4]:87:其中p是底面正n边形的周长。假设底面正n边形的边长是a,高是h,那么它的周长是na,中心到每一边的距离是。所以斜高是:侧面积是:

应用实例

三棱锥p—abc的侧棱pa,pb,pc两两互相垂直,侧面面积分别是6,4,3,则三棱锥的体积是多少?

解:设pa=x,pb=y,pc=z.∵pa⊥pb,pa⊥pc,pb⊥pc.=3.

∴xy=12````````````````````````①

yz=8`````````````````````````②

zx=6`````````````````````````③

解得:x=3,y=4,z=2.

∵pa⊥pb,pa⊥pc,pb⊥pc.

∴pa⊥平面pbcpa=x=3.

∴三棱锥的体积:1/3pa=4。

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